层次分析法¶
层次分析法（AHP）是美国著名的运筹学家Satty等人在20世纪70年代提出的将一种定性和定量分析相结合的多准则决策方法。这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题，提供一种简便的决策方法。具体的说，它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，用一种标度对人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定量分析的一种决策方法。他把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。它尤其适合于人的定性判断起主要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。
层次分析法的基本思路：
先分解后综合首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：
- 建立递阶层次结构模型；
- 构造出各层次中的所有判断矩阵；
- 层次单排序及一致性检验；
- 层次总排序及一致性检验。
步骤¶
- Step 1: 构建层次结构 在第一个阶段，决策问题和决策目标分层次地引入相关决策要素的场景。决策要素是决策指标和决策选择。小组根据下图建立反映备选方案问题的层次结构。
- Step 2:建立两两对比矩阵
评价采用亮亮对比方式，等级从1到9，其中1表示这两个元素相同或同等重要，数字9意味着在成对矩阵中，一个元素比另一个元素极端重要。下表显示了每个数字的两两尺度和重要性值。
数据处理过程包括以下步骤。首先，提取两两比较矩阵，设为为矩阵$A$。如果$a_{ik}a_{kj} = a_{ij}$对所有$k, j$和$i$都不确定，则选择特征方程方法： $$AX=\lambda X$$ 求最大特征值及其对应的特征向量。 如何通过互反矩阵确定这些因素到目标层的权重。因为它是一个正的矩阵,根据佩罗（Perron）定理,一定有一个最大特征值$ \lambda_{max}$的正互反矩阵,和相应的特征向量$X$是一个正的向量,标准化(每个组件的总和等于1)作为权向量$W$ $$ AW = \lambda_{max}X$$
- Step 3：一致性检验 为了验证AHP的结果，使用公式$$CR = \frac{CI}{RI}$$计算一致性比(CR)，其中一致性指数($CI$)通过以下公式测量: $$CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}$$
RI的值与矩阵的维数有关，从下表中提取。需要注意的是，一致性比低于0.10，验证比较结果是可以接受的。
算例¶
有5个指标：X1对X2明显重要；X1对X3强烈重要；X1对X4同等重要；X1对X5稍不重要。采用AHP方法计算指标权重。
- 列出判断矩阵 $$ A=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 5 & 7 & 1 & 1 / 3 \\ 1 / 5 & 1 & 2 & 1 / 5 & 1 / 8 \\ 1 / 7 & 1 / 2 & 1 & 1 / 7 & 1 / 9 \\ 1 & 5 & 7 & 1 & 1 / 3 \\ 3 & 8 & 9 & 3 & 1 \end{array}\right] $$
- 一致性检验 $\lambda_{\max }=5.1141$
$\mathrm{CI}=\left(\lambda_{\max }-\mathrm{n}\right) /(\mathrm{n}-1)=(5.1141-5) /(5-1)=0.1141 / 4=0.0285$
$\mathrm{RI}(5)=1.12$
$\mathrm{CR}=\mathrm{CI} / \mathrm{RI}=0.0285 / 1.12=0.0255<0.10$
因此, 通过一致性检验。 权重即为最大特征根对应的特征向量$$W=[0.2131,0.0522,0.0343,0.2131,0.4873]$$
参考文献
- Hamed Taherdoost. Decision Making Using the Analytic Hierarchy Process (AHP); A Step by Step Approach. International Journal of Economics and Management System, IARAS, 2017. ffhal-02557320f
- ThomsonRen github https://github.com/ThomsonRen/mathmodels